Вероятности и дети

Вероятности и дети

Есть у меня чат с лицейскими друзьями. Общаемся мы там уже больше 20 лет, но не все пишут регулярно, поэтому один забавный факт я заметил только недавно.

У двоих ребят родились сыновья в один день, 8 марта, с разницей ровно в год. Я сразу вспомнил про парадокс дней рождения и решил посчитать вероятность. Загадки тут нет, чистая вероятность совпадения для двух конкретных людей вполне обычная: 1/365, или 0,27%.

Но у моей дочки день рождения тоже 8-го числа, просто в другой месяц. Вероятность такой цепочки событий становится интереснее:

• Моя дочь рождается в любой день года. Дата зафиксировалась на 8-м числе. Шанс: 365/365
• У друга рождается сын в такое же число, но другого месяца. В году таких дней двенадцать. Шанс: 12/365
• У подруги рождается сын строго в тот же день, что и у друга. Шанс: 1/365

Итоговая формула: P = 1 × 12/365 × 1/365 = 0,009% Получается один шанс из 11 100.

Но если считать более честно, то нужно брать в расчет весь чат. Всего нас 9 человек, и дети пока есть у четверых. Полноценный расчет для группы из 4 детей дает уже 1,64% на то, что у кого-то совпадут дни рождения. Математика здесь идет от обратного: считаем шанс, что все родятся в разные дни, и вычитаем из 100%. P = 100% - (1 × 364/365 × 363/365 × 362/365) = 1,64% Шансы заметно выросли, потому что из четверых детей можно собрать уже 6 разных вариантов пар.

С нашим тройным комбо (двое в один день + один в то же число месяца) история похожая. Для одной конкретной тройки шанс был 0,009%. Но среди 4 человек можно собрать 4 разные тройки участников. Любая из них могла стать триггером, поэтому общая вероятность такого события в чате увеличивается в 4 раза - примерно до 0,036% (один шанс из 2770).

Возвращаясь к парадоксу. Когда в нашем чате суммарное количество детей дойдет до 24, вероятность встретить еще одно совпадение превысит за 50%. Что забавно, ведь свой первый план по совпадениям чат перевыполнил досрочно.

Тут есть легкий слом мозга. Для прошлых событий вероятность всегда равна 100%, они уже стали историческим фактом. Но если считать шанс появления еще одного, совершенно нового совпадения в будущем, то планка в 50% сдвигается с классических 23 детей до 24.

Математика такая: мы считаем от обратного. Чтобы не случилось вообще никаких новых коллизий, каждый следующий ребенок должен рождаться только в свободные дни. Сейчас у 4 детей занято 3 уникальные даты (8 марта, 8 июля и 28 августа). Если пятый ребенок попадет в любую из них — случится то самое новое совпадение. Значит, для него эти 3 дня «опасны», и безопасных дат остается 362.

Вероятность того, что при добавлении детей вплоть до 24-го не случится ни одного нового совпадения, рассчитывается перемножением свободных дней: P(без коллизий) = 362/365 × 361/365 × 360/365 × ... × 343/365

Вычтя итог этой цепочки (49,7%) из 100%, мы получим 50,3% на появление еще одного совпадения именно на 24-м ребенке.

P.S. Ставки на пятого ребенка Когда у кого-то родится следующий, пятый по счету ребенок, календарь для него технически чист. Но если прямо сейчас заложить гипотезы на всю цепочку из 5 детей с нуля, то вероятности итоговых комбо получаются микроскопическими:

• Три ребенка 8 марта и один 8-го числа другого месяца. Пятый должен родиться строго 8 марта. Общая вероятность всей цепочки: 0,000025% (1 шанс из 4 миллионов).
• Два ребенка 8 марта, один 8 июля и еще один 8-го числа любого другого месяца. Пятый должен попасть в любое 8-е число, кроме марта и июля (шанс 10/365). Общая вероятность цепочки: 0,00025% (1 шанс из 400 тысяч).
• Два ребенка 8 марта и два строго 8 июля, как у меня. Пятый должен родиться ровно 8 июля. Общая вероятность: те же 0,000025% (1 из 4 миллионов).

P.P.S. Про распределение по полу Пока я считал только даты, но по полу у нас в чате сейчас идеальный баланс 50/50: две девочки и два мальчика. Интуитивно кажется, что раз вероятность рождения мальчика или девочки равна 50%, то и идеальный баланс должен выпадать в половине случаев. На деле это не так.

Каждое рождение это независимое событие. Из-за этого мы не можем просто перемножить вероятности, а должны посчитать количество возможных комбинаций. Для 4 детей их ровно 16 (например: все мальчики, три девочки и один мальчик в разном порядке появления на свет и так далее). Все эти 16 комбинаций абсолютно равновероятны.

Если выписать их на бумаге, то вариантов, где получается строго 2 мальчика и 2 девочки, будет всего 6 из 16. Делим 6 на 16 и получаем шанс ровно в 37,5%. Выходит, что родить детей с перекосом в какую-то сторону (3:1 или 4:0) статистически было гораздо проще - на это приходилось целых 62,5%. Посмотрим, в какую сторону качнутся весы с появлением пятого.

P.P.P.S. И тут тоже есть парадокс, завязанный на формулировку задачи — Парадокс мальчика и девочки.

Просто забавное наблюдение и красивое совпадение чисел в реальном мире.